Tính Tổng Lũy Thừa Có Cùng Cơ Số

     

Các dạng toán tính tổng hàng số lũy thừa bao gồm quy biện pháp là trong số những chuyên đề có khá nhiều bài tập được gọi là "khó nhằn" với gây "căng trực tiếp đầu óc" cho chúng ta học sinh lớp 6, đây bao gồm thể coi là dạng toán dành riêng cho học sinh hơi giỏi.

Bạn đang xem: Tính tổng lũy thừa có cùng cơ số


Vì vậy, nhằm mục đích giúp các em học viên "giải tỏa được căng thẳng" lúc gặp các dạng toán về tính tổng dãy số lũy thừa tất cả quy luật, trong bài viết này họ hãy cùng khối hệ thống lại một số dạng toán này cùng công thức và cách giải, sau đó vận dụng làm những bài tập.


I. Dạng toán tính tổng dãy sử dụng cách thức quy nạp.

- Đối với cùng 1 số trường vừa lòng khi tính tổng hữu hạn:

 Sn = a1 + a2 + . . . + an (*)

khi nhưng mà ta rất có thể biết được kết quả (đề câu hỏi cho ta biết hiệu quả hoặc ta dự đoán được kết quả), thì ta sử dụng phương pháp quy nạp này để triệu chứng minh.

* Ví dụ: Tính tổng Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1)

° phía dẫn: (sử dụng phương pháp quy nạp)

- Đầu tiên, ta thử với n = 1, ta có: S1 = (2.1 - 1) = 1

 Thử cùng với n = 2, ta có: S2 = (2.1 - 1) + (2.2 - 1) = 1+ 3 = 4 = 22

 Thử cùng với n= 3, ta có: S3 = (2.1 - 1) + (2.2 - 1) + (2.3 - 1)= 1+ 3 + 5 = 9 = 32

 ... ... ... 

- Ta dự đoán: Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1) = n2 

• cách thức quy nạp: Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1) = n2 (*)

 Với n = 1; S1 = 1 (đúng)

 Giả sử đúng với n = k (k≠1), tức là:

 Sk =1 + 3 + 5 + . . . + (2k -1) = k2 (1)

 Ta cần chứng minh (*) đúng cùng với n = k+1, tức là:

 Sk+1 = 1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)2 

 Vì ta vẫn giải sử Sk đúng bắt buộc ta đã tất cả (1), từ phía trên ta biến đổi để xuất hiện (2), (1) còn gọi là giải thiết quy nạp.

 1 + 3 + 5 + . . . + (2k -1) = k2

 1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) + (2k+1) = k2 + (2k+1) (cộng 2k+1 vào 2 vế).

Xem thêm: Bài 22: Mây Được Hình Thành Như Thế Nào ? Mưa Từ Đâu Ra Bài 22: Mây Được Hình Thành Như Thế Nào

Từ đó ⇒ 1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) + (2k+1) = k2 + 2k + 1 = (k+1)2

• Tương trường đoản cú như vậy, ta bao gồm thể minh chứng các công dụng sau bằng phương pháp quy hấp thụ toán học:

1)

*

2) 

*

3) 

*

4) 

*

II. Dạng toán Tính tổng dãy sử dụng phương pháp khử liên tiếp

- trả sử bắt buộc tính tổng: Sn = a1 + a2 + . . . + an (*) nhưng mà ta rất có thể biểu diễn ai, i =1,2,3,...,n qua hiệu của 2 số hạng thường xuyên của 1 hàng khác, rõ ràng như sau:

 a1 = b1 - b2

 a2 = b2 - b3

 ... ... ...

 an = bn - bn+1

⇒ lúc ấy ta có: Sn = (b1 - b2) + (b2 - b3)+...+(bn - bn+1) = b1 - bn+1

* ví dụ 1: Tính tổng:

*

° Hướng dẫn: - Ta có:

 

*
 
*

 

*
 ...; 
*

*
*

Dạng tổng quát: 

*
*

* lấy ví dụ 2: Tính tổng:

 

*

° Hướng dẫn: - Ta có:

*
 
*
 ;...; 
*

*
*

*

*

* ví dụ như 3: Tính tổng:

 

*

° Hướng dẫn: - Ta có:

 

*

 

*

 

*

III. Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng đề nghị tìm

• Dạng toán này vận dựng 2 phương thức giới thiệu ngơi nghỉ trên

* ví dụ như 1: Tính tổng: S = 1 + 2 + 22 + . . . + 2100 (*)

° hướng dẫn:

* biện pháp 1: Ta viết lại S như sau:

 S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . . + 299)

 S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . . + 299 + 2100 - 2100)

⇒ S = 1+ 2(S - 2100) = 1+ 2S - 2101

⇒ S = 2101 - 1

* phương pháp 2: Nhân 2 vế với 2, ta được:

 2S = 2(1 + 2 + 22 + . . . + 2100)

⇔ 2S = 2 + 22 + 23 + . . . 2101 (**)

- mang (**) trừ đi (*) ta được:

 2S - S = (2 + 22 + 23 + . . . 2101) - (1 + 2 + 22 + . . . + 2100)

⇔ S = 2101 - 1.

• bao quát cho dạng toán này như sau:

 

*

 Ta nhân cả 2 vế của Sn cùng với a. Rồi TRỪ vế cùng với vế ta được: 

*

* lấy ví dụ như 2: Tính:

 S = 1 - 2 + 22 - 23 + 24 - . . . - 299 + 2100

° phía dẫn:- Ta có:

 2S = 2(1 - 2 + 22 - 23 + 24 - . . . - 299 + 2100)

⇔ 2S = 2 - 22 + 23 - 24 + 25 - . . . - 2100 + 2101

⇔ 2S + S = (2 - 22 + 23 - 24 + 25 - . . . - 2100 + 2101) + (1 - 2 + 22 - 23 + 24 - . . . - 299 + 2100) 

⇔ 3S = 2101 + 1.

*

• tổng thể cho dạng toán này như sau:

*

 Ta nhân cả hai vế của Sn với a. Rồi CỘNG vế cùng với vế ta được:

*

* ví dụ như 3: Tính tổng:

 S = 1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100 (*)

° phía dẫn:

- Với câu hỏi này, mục tiêu là nhân 2 vế của S với một số nào này mà khi trừ vế với về thì ta được các số khử (triệu tiêu) liên tiếp.

- Đối với bài bác này, ta thấy số mũ của 2 số liên tiếp cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32 rồi áp dụng phương pháp khử liên tiếp.

Xem thêm: 39+ Hình Nền Tượng Mẹ Quan Thế Âm Bồ Tát Đẹp Nhất, Thánh Thiện

S = 1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100 

⇔ 32.S = 32(1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100)

⇔ 9S= 32 + 34 + . . . + 3100 + 3102 (**)

- Ta Trừ vế với vế của (**) đến (*) được:

9S-S= (32 + 34 + . . . + 3100 + 3102) - (1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100)

⇔ 8S = 3102 - 1

*

• tổng thể cho dạng toán này như sau:

*

 Ta nhân cả hai vế của Sn với ad . Rồi TRỪ vế cùng với vế ta được: 

 

*

* lấy một ví dụ 4: Tính:

 S = 1 - 23 + 26 - 29+ . . . + 296 - 299 (*)

° hướng dẫn:

- Lũy thừa các số thường xuyên cách nhau 3 đối chọi vị, nhân 2 vế với 23 ta được:

 23.S = 23.(1 - 23 + 26 - 29+ . . . + 296 - 299)

⇒ 8S = 23 - 26 + 29 - 212+ . . . + 299 - 2102 (**)

- Ta CỘNG vế với vế (**) với (*) được:

 8S + S = (23 - 26 + 29 - 212+ . . . + 299 - 2102)+(1 - 23 + 26 - 29+ . . . + 296 - 299)

⇔ 9S = 1 - 2102 

*

• tổng thể cho dạng toán này như sau: 

*

Ta nhân cả hai vế của Sn với ad . Rồi CỘNG vế cùng với vế ta được: 

 

*

III. Dạng toán áp dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số phương pháp đều.

• Đối cùng với dạng này sinh sống bậc học cao hơn hoàn toàn như là THPT những em sẽ có công thức tính theo cấp số cộng hoặc cấp cho số nhân, còn với lớp 6 những em nhờ vào cơ sở định hướng sau:

- Để đếm được số hạng cảu 1 hàng số cơ mà 2 số hạng liên tục cách những nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:

 Số số hạng = <(số cuối - số đầu):(khoảng cách)> + 1

- Để tính Tổng những số hạng của một dãy cơ mà 2 số hạng thường xuyên cách phần đa nhau 1 số đơn vị ta sử dụng công thức: