Tìm A Để Hàm Số Liên Tục Trên R
HÀM SỐ LIÊN TỤC
A.ÔN TẬP LÝ THUYẾT:1.Hàm số liên tiếp tại một điểm: $y = f(x)$ thường xuyên tại $x_0 iff mathop lim limits_x o x_0 f(x) = f(x_0)$- Để xét tính thường xuyên của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$ ta tiến hành các bước:Bước 1: Tính $f(x_0)$.
Bạn đang xem: Tìm a để hàm số liên tục trên r
Bước 2: Tính $mathop lim limits_x o x_0 f(x)$ (trong những trường phù hợp ta phải tính $mathop lim limits_x o x_0^ + f(x)$, $mathop lim limits_x o x_0^ - f(x)$)Bước 3: so sánh $mathop lim limits_x o x_0 f(x)$ cùng với $f(x_0)$ cùng rút ra kết luận.Bước 4: Kết luận.2.Hàm số liên tiếp trên một khoảng: $y = f(x)$ liên tiếp tại đông đảo điểm thuộc khoảng chừng đó.3.Hàm số tiếp tục trên một đoạn $
Khi đó:- những hàm số $y = f(x) + g(x),,, y = f(x) – g(x),,, y = f(x).g(x)$ liên tiếp tại $x_0$.- Hàm số $y = fracf(x)g(x)$ liên tiếp tại $x_0$ nếu như $g(x_0)
e 0$.6.Nếu $y = f(x)$ liên tục trên $
c) $f(x),, = ,,left{ eginarraylfrac2 - 7x + 5x^2 - x^3x^2 - 3x + 2& & extnếu,,x
e 2,,,,,,\1& & extnếu,,x = 2endarray
ight.,, exttại,,x = 2$d) $f(x),, = ,,left{ eginarraylfracsqrt<3>x + 1 - 1x& & extnếu,x
e 0,,,,,,\frac13& & extnếu,,x = 0endarray
ight.,, exttại,,x = 0$Bài tập 2: search $m$, $n$ để hàm số thường xuyên tại điểm được chỉ ra:a) $f(x) = left{ eginarraylfracx^3 - x^2 + 2x - 2x - 1& & extnếu,,x
e 1\3x + m& & extnếu,,x = 1endarray
ight.,, exttại,,x = 1$b) $f(x) = left{ eginarraylm& & extnếu,,x = 0\fracx^2 - x - 6x(x - 3)& & extnếu,,x
e 0,x
e 3\n& & extnếu,,x = 3endarray
ight.,, exttại,,x = 0,, extvà,,x = 3$c) $f(x) = left{ eginarraylfracx^2 - x - 2x - 2& & extnếu,,x
e 2\m& & extnếu,,x = 2endarray
ight.,, exttại,,x = 2$d) $f(x) = left{ eginarraylfracx - 2sqrt 6 - x - sqrt<3>6 + x& & extnếu,,x
e 2\m& & extnếu,,x = 2endarray
ight.,, exttại,,x = 2$Dạng 2: $f(x) = left{ eginarraylh(x,m)& & extnếu,,x ge x_0\g(x,m)& & extnếu,,x endarray
ight.,,,,, exttại,,x = x_0$ hoặc $f(x) = left{ eginarraylh(x,m)& & extnếu,,x > x_0\g(x,m)& & extnếu,,x le x_0endarray
ight.,,,,, exttại,,x = x_0$Phương pháp:Bước 1: Tính $f(x_0)$.Bước 2: Tính $mathop lim limits_x o x_0^ + f(x)$, $mathop lim limits_x o x_0^ - f(x)$.Bước 3: so sánh $mathop lim limits_x o x_0^ + f(x)$, $mathop lim limits_x o x_0^ - f(x)$ cùng với $f(x_0)$ cùng rút ra kết luận.Bước 4: Kết luận.Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số trên điểm được chỉ ra: $f(x),, = ,,left{ eginarraylfrac2 - 7x + 5x^2x^2 - 3x + 2& & extnếu,x > 1,,,,,,\1& & extnếu,,x le 1endarray
ight.,, exttại,,x = 1$Hướng dẫn giải:$f(1) = 1$$mathop lim limits_x o 1^ + f(x) = mathop lim limits_x o 1^ + frac2 - 7x + 5x^2x^2 + x - 2 = mathop lim limits_x o 1^ + fracleft( x - 1
ight)left( 5x - 2
ight)left( x - 1
ight)left( x + 2
ight) = mathop lim limits_x o 1 frac5x - 2x + 2 = 1$$mathop lim limits_x o 1^ - f(x) = mathop lim limits_x o 1^ - 1 = 1$Do: $mathop lim limits_x o 1^ + f(x) = mathop lim limits_x o 1^ - f(x) = f(1) = - 3$ nên hàm số $f(x)$ tiếp tục tại $x_0 = 1$Vậy: Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_0 = 1$Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số trên điểm được chỉ ra: $f(x),, = ,,left{ eginarraylfrac2 - 7x + 5x^2x^2 + x - 2& & extnếu,x > 1,,,,,,\- 1& & extnếu,,x le 1endarray
ight.,, exttại,,x = 1$Hướng dẫn giải:$f(1) = - 1$$mathop lim limits_x o 1^ + f(x) = mathop lim limits_x o 1^ + frac2 - 7x + 5x^2x^2 + x - 2 = mathop lim limits_x o 1^ + fracleft( x - 1
ight)left( 5x - 2
ight)left( x - 1
ight)left( x + 2
ight) = mathop lim limits_x o 1 frac5x - 2x + 2 = 1$$mathop lim limits_x o 1^ - f(x) = mathop lim limits_x o 1^ - ( - 1) = - 1$Do: $mathop lim limits_x o 1^ + f(x)
e mathop lim limits_x o 1^ - f(x) = f(1) = - 3$ buộc phải hàm số f(x) cách trở tại $x_0 = 1$Vậy: Hàm số $f(x)$ cách biệt tại $x_0 = 1$Ví dụ 3: tra cứu m nhằm hàm số tiếp tục tại điểm được chỉ ra: $f(x),, = ,,left{ eginarraylfrac2 - 7x + 5x^2x^2 + x - 2& & extnếu,,x > 1,,,,,,\- 3mx - 1& & extnếu,,x le 1endarray
ight.,, exttại,,x = 1$Hướng dẫn giải:$f(1) = - 3m.1 - 1$$mathop lim limits_x o 1^ + f(x) = mathop lim limits_x o 1^ + frac2 - 7x + 5x^2x^2 + x - 2 = mathop lim limits_x o 1^ + fracleft( x - 1
ight)left( 5x - 2
ight)left( x - 1
ight)left( x + 2
ight) = mathop lim limits_x o 1 frac5x - 2x + 2 = 1$$mathop lim limits_x o 1^ - f(x) = mathop lim limits_x o 1^ - ( - 3mx - 1) = - 3m – 1$Do hàm số $f(x)$ thường xuyên tại $x_0 = 1 Leftrightarrow mathop lim limits_x o 1^ + f(x) = mathop lim limits_x o 1^ - f(x) = f(1) Leftrightarrow - 3m - 1 = 1 Leftrightarrow m = - frac23$Vậy: cực hiếm $m$ buộc phải tìm là: $m = - frac23$Bài tập vận dụng:Bài tập 1: Xét tính tiếp tục của hàm số trên điểm được chỉ ra:a) $f(x), = ,left{ eginarraylfracx - 5sqrt 2x - 1 - 3& & extnếu,,x > 5\(x - 5)^2 + 3& & extnếu,,x le ,,5endarray
ight.,,,,, exttại,,x = 5$b) $f(x),, = ,,left{ eginarrayl1 - cos x& & extnếu,,x le 0,,,,,,\sqrt x + 1& & extnếu,,x > ,0endarray
ight.,, exttại,,x = 0$c) $f(x) = left{ eginarraylfracx - 1sqrt 2 - x - 1& & extnếu,,x - 2x& & extnếu,,x ge 1endarray
ight.,, exttại,,x = 1$d) $f(x) = left{ eginarraylfrac1 - sqrt 2 - x x - 1& & extnếu,,x - fracx2& & extnếu,,x ge 1endarray
ight.,, exttại,,x = 1$e) $f(x) = left{ eginarraylfracx^4 - 1x^3 - 1& & extnếu,,x - 2x& & extnếu,,x ge 1endarray
ight.,, exttại,,x = 1$f) $f(x) = left{ eginarraylfracx^3 - 3x^2 + 3x - 1x^2 - 1& & extnếu,,x - 2x& & extnếu,,x ge 1endarray
ight.,, exttại,,x = 1$g) $f(x) = left{ eginarraylfracsqrt x^2 + 1 - 14 - sqrt x^2 + 16 & & extnếu,,x 1 - 2x^2& & extnếu,,x ge 0endarray
ight.,, exttại,x = 0$h) $f(x) = left{ eginarraylfracsqrt<3>3 - 2x - sqrt 2 - x x - 1& & extnếu,,x - fracx2& & extnếu,,x ge 1endarray
ight.,, exttại,,x = 1$Bài tập 2: Tìm m nhằm hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:a) $f(x) = left{ eginarraylx^2& & extnếu,,x 2mx - 3& & extnếu,,x ge 1endarray
ight.,, exttại,,x = 1$b) $f(x), = ,left{ eginarraylfracx - 5sqrt 2x - 1 - 3& & extnếu,,x > 5\(x - 5)^2 + 3m& & extnếu,,x le ,,5endarray
ight.,,,,, exttại,,x = 5$c) $f(x),, = ,,left{ eginarrayl1 - mcos x& & extnếu,,x le 0,,,,,,\sqrt x + 1& & extnếu,,x > ,0endarray
ight. exttại,,x = 0$d) $f(x) = left{ eginarraylfracx - 1sqrt 2 - x - 1& & extnếu,,x - 2mx + 1& & extnếu,,x ge 1endarray
ight.,, exttại,,x = 1$e) $f(x) = left{ eginarraylfracx^4 - 1x^3 - 1& & extnếu,,x - 2(m - 1)x + 3& & extnếu,,x ge 1endarray
ight.,, exttại,,x = 1$f) $f(x) = left{ eginarraylfracx^3 - 3x^2 + 3x - 1x^2 - 1& & extnếu,,x m - 2x& & extnếu,,x ge 1endarray
ight.,, exttại,,x = 1$Vấn đề 2: Hàm số liên tiếp trên tập xác minh của nó:Dạng 1: $f(x) = left{ eginarraylh(x,m)& & extnếu,,x
e x_0\g(x,m)& & extnếu,,x = x_0endarray
ight.$Phương pháp:Bước 1: tra cứu tập xác định của hàm số.Bước 2: Khi $x
e x_0$. đánh giá tính liên tiếp của hàm số $f(x)$ trên $x
e x_0$.Bước 3: Khi $x = x_0$.- Tính $f(x_0)$.- Tính $mathop lim limits_x o x_0 f(x)$.- so sánh $mathop lim limits_x o x_0 f(x)$ với $f(x_0)$ cùng rút ra tóm lại tại điểm $x_0$.
Xem thêm: Tổng Hợp Những Stt Tâm Trạng Về Cuộc Sống Hay Khiến Bạn Không Cầm Được Nước Mắt
Bước 4: kết luận tính tiếp tục trên tập khẳng định của chúng.Ví dụ 1: Xét tính tiếp tục của hàm số trên tập xác định của chúng: $f(x),, = ,,left{ eginarraylfrac2 - 7x + 5x^2x - 1& & extnếu,,x
e 1,,,,,,\3& & extnếu,,x = 1endarray
ight.$Hướng dẫn giải:- Tập xác định: $D = mathbbR$- ví như $x
e 1$, thì hàm số $f(x) = frac2 - 7x + 5x^2x - 1$.Đây là hàm phân thức hữu tỉ tất cả tập xác định là $left( - infty ;1
ight) cup left( 1; + infty
ight)$.Vậy nó tiếp tục trên mỗi khoảng $left( - infty ;1
ight)$ với $left( 1; + infty
ight)$- trường hợp $x = 1$$f(1) = - 3$$mathop lim limits_x o 1 f(x) = mathop lim limits_x o 1 frac2 - 7x + 5x^2x - 1 = mathop lim limits_x o 1 fracleft( x - 1
ight)left( 5x - 2
ight)x - 1 = mathop lim limits_x o 1 (5x - 2) = 3$Do: $mathop lim limits_x o 1 f(x) = f(1) = 3$ cần hàm số $f(x)$ tiếp tục tại $x_0 = 1$Suy ra hàm số f(x) liên tiếp tại $x_0 = 1$- Vậy: Hàm số $f(x)$ thường xuyên trên $mathbbR$.Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác minh của chúng: $f(x),, = ,,left{ eginarraylfrac2 - 7x + 5x^2x - 1& & extnếu,,x
e 1,,,,,,\- 1& & extnếu,,x = 1endarray
ight.$Hướng dẫn giải:- Tập xác định: $D = mathbbR$- nếu $x
e 1$, thì hàm số $f(x) = frac2 - 7x + 5x^2x - 1$.Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác minh là $left( - infty ;1
ight) cup left( 1; + infty
ight)$.Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng chừng $left( - infty ;1
ight)$ với $left( 1; + infty
ight)$- ví như $x = 1$$f(1) = - 1$$mathop lim limits_x o 1 f(x) = mathop lim limits_x o 1 frac2 - 7x + 5x^2x - 1 = mathop lim limits_x o 1 fracleft( x - 1
ight)left( 5x - 2
ight)x - 1 = mathop lim limits_x o 1 (5x - 2) = 3$Do: $mathop lim limits_x o 1 f(x)
e f(1)$ nên hàm số $f(x)$ không thường xuyên tại $x_0 = 1$Suy ra hàm số $f(x)$ không liên tiếp tại $x_0 = 1$- Vậy: Hàm số $f(x)$ thường xuyên trên mỗi khoảng chừng $left( - infty ;1
ight)$ cùng $left( 1; + infty
ight)$ nhưng cách biệt tại $x_0 = 1$Ví dụ 3: Tìm $m$ nhằm hàm số liên tục trên tập xác định của chúng:$f(x),, = ,,left{ eginarraylfrac2 - 7x + 5x^2x - 1& & extnếu,,x
e 1,,,,,,\- 3mx - 1& & extnếu,,x = 1endarray
ight.,, exttại,,x = 1$Hướng dẫn giải:- Tập xác định: $D = mathbbR$- trường hợp $x
e 1$, thì hàm số $f(x) = frac2 - 7x + 5x^2x - 1$.Đây là hàm phân thức hữu tỉ tất cả tập khẳng định là $left( - infty ;1
ight) cup left( 1; + infty
ight)$.Vậy nó tiếp tục trên mỗi khoảng chừng $left( - infty ;1
ight)$ với $left( 1; + infty
ight)$- ví như $x = 1$$f(1) = - 3m - 1$$mathop lim limits_x o 1 f(x) = mathop lim limits_x o 1 frac2 - 7x + 5x^2x - 1 = mathop lim limits_x o 1 fracleft( x - 1
ight)left( 5x - 2
ight)x - 1 = mathop lim limits_x o 1 (5x - 2) = 3$Do hàm số $f(x)$ không liên tiếp tại $x_0 = 1$ bắt buộc $mathop lim limits_x o 1 f(x) = f(1) Leftrightarrow - 3m - 1 = 3 Leftrightarrow m = - frac43$.- Vậy: giá trị $m$ phải tìm là $m = - frac43$Bài tập vận dụng:Bài tập 1: Xét tính thường xuyên của hàm số trên tập xác minh của chúng:a) $f(x) = left{ eginarraylfracx + 3x - 1& & extnếu,,x
e 1\- 1& & extnếu,,x = 1endarray
ight.,,$b) $f(x),, = ,,left{ eginarraylfracsqrt x + 3 - 2x - 1& & extnếu,,x
e 1,,,,,,\frac14& & extnếu,,x = 1endarray
ight.$c) $f(x),, = ,,left{ eginarraylfrac2 - 7x + 5x^2 - x^3x - 2& & extnếu,x
e 2,,,,,,\1& & extnếu,,x = 2endarray
ight.$d) $f(x),, = ,,left{ eginarraylfracx^3 + x + 2x^3 + 1& & extnếu,,x
e - 1\frac43& & extnếu,,x = - 1endarray
ight.$e) $f(x) = left{ eginarraylfracx^2 - 4x + 2& & extnếu,,x
e - 2\- 4& & extnếu,,x = - 2endarray
ight.$f) $f(x) = left{ eginarraylfracx^2 - 2x - sqrt 2 & & extnếu,,x
e sqrt 2 \2sqrt 2& & extnếu,,x = sqrt 2endarray
ight.$Bài tập 2: tìm m để hàm số thường xuyên tại bên trên tập xác định của chúng:a) $f(x) = left{ eginarraylfracx^3 - x^2 + 2x - 2x - 1& & extnếu,,x
e 1\3x + m& & extnếu,,x = 1endarray
ight.$b) $f(x) = left{ eginarraylm và & khi,,x = 0\fracx^2 - x - 6x(x - 3)& & extnếu,,x
e 0,x
e 3\n& & extnếu,,x = 3endarray
ight.$c) $f(x) = left{ eginarraylfracx^2 - x - 2x - 2& & extnếu,,x
e 2\m& & extnếu,,x = 2endarray
ight.$d) $f(x) = left{ eginarraylfracx^2 - x - 2x - 2& & extnếu,,x
e 2\m& & extnếu,,x = 2endarray
ight.$e) $f(x) = left{ eginarraylfracx^3 - x^2 + 2x - 2x - 1& & extnếu,,x
e 1\3x + m& & extnếu,,x = 1endarray
ight.$f) $f(x) = left{ eginarraylfracx^3 + x - 2x - 2& & extnếu,,x
e 2\m& & extnếu,,x = 2endarray
ight.$Dạng 2:$f(x) = left{ eginarraylh(x,m)& & extnếu,,x ge x_0\g(x,m)& & extnếu,,x endarray
ight.$ hoặc $f(x) = left{ eginarraylh(x,m)& & extnếu,,x > x_0\g(x,m)& & extnếu,,x le x_0endarray
ight.$Phương pháp:Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.Bước 2: lúc $x
e x_0$. Khám nghiệm tính liên tục của hàm số $f(x)$ trên những khoàng.Bước 3: khi $x = x_0$.- Tính $f(x_0)$.- Tính $mathop lim limits_x o x_0^ + f(x)$, $mathop lim limits_x o x_0^ - f(x)$.- đối chiếu $mathop lim limits_x o x_0^ + f(x)$, $mathop lim limits_x o x_0^ - f(x)$ cùng với $f(x_0)$ và rút ra tóm lại tại điểm $x_0$.Bước 4: Kết luận tính tiếp tục trên tập xác minh của chúng.Ví dụ 1: Xét tính thường xuyên của hàm số trên tập xác định của chúng: $f(x),, = ,,left{ eginarraylfrac2 - 7x + 5x^2x - 1& & extnếu,,x > 1,,,,,,\3& & extnếu,,x le 1endarray
ight.$Hướng dẫn giải:- Tập xác định: $D = mathbbR$.- nếu $x > 1$, thì hàm số $f(x) = frac2 - 7x + 5x^2x - 1$.Đây là hàm phân thức hữu tỉ bao gồm tập xác định là $left( - infty ;1
ight) cup left( 1; + infty
ight)$.Vậy nó tiếp tục trên mỗi khoảng $left( 1; + infty
ight)$.- nếu như $x Đây là hàm đa thức gồm tập khẳng định là $mathbbR$.Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng tầm $left( - infty ;1
ight)$.- trường hợp $x = 1$$f(1) = 3$$mathop lim limits_x o 1^ + f(x) = mathop lim limits_x o 1^ + frac2 - 7x + 5x^2x^2 + x - 2 = mathop lim limits_x o 1^ + fracleft( x - 1
ight)left( 5x - 2
ight)left( x - 1
ight) = mathop lim limits_x o 1 (5x - 2) = 3$$mathop lim limits_x o 1^ - f(x) = mathop lim limits_x o 1^ - 3 = 3$Do: $mathop lim limits_x o 1^ + f(x) = mathop lim limits_x o 1^ - f(x) = f(1) = 3$ nên hàm số f(x) liên tiếp tại $x_0 = 1$Vậy: Hàm số $f(x)$ tiếp tục tại $x_0 = 1$- Vậy: Hàm số $f(x)$ liên tục trên $mathbbR$.Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số bên trên tập xác minh của chúng: $f(x),, = ,,left{ eginarraylfrac2 - 7x + 5x^2x - 1& & extnếu,,x > 1,,,,,,\- 1& & extnếu,,x le 1endarray
ight.$Hướng dẫn giải:- Tập xác định: $D = mathbbR$- giả dụ $x > 1$, thì hàm số $f(x) = frac2 - 7x + 5x^2x - 1$.Đây là hàm phân thức hữu tỉ gồm tập khẳng định là $left( - infty ;1
ight) cup left( 1; + infty
ight)$.Vậy nó liên tục trên khoảng tầm $left( 1; + infty
ight)$.- giả dụ $x Đây là hàm nhiều thứccó tập khẳng định là $mathbbR$.Vậy nó liên tiếp trên mỗi khoảng $left( - infty ;1
ight)$.- nếu $x = 1$$f(1) = - 1$$mathop lim limits_x o 1^ + f(x) = mathop lim limits_x o 1^ + frac2 - 7x + 5x^2x^2 + x - 2 = mathop lim limits_x o 1^ + fracleft( x - 1
ight)left( 5x - 2
ight)left( x - 1
ight) = mathop lim limits_x o 1 (5x - 2) = 3$$mathop lim limits_x o 1^ - f(x) = mathop lim limits_x o 1^ - - 1 = - 1$Do: $mathop lim limits_x o 1^ + f(x)
e mathop lim limits_x o 1^ - f(x) = f(1)$ bắt buộc hàm số $f(x)$ đứt quãng tại $x_0 = 1$- Vậy: Hàm số $f(x)$ liên tiếp trên $left( - infty ;1
ight) cup left( 1; + infty
ight)$ và cách trở tại $x_0 = 1$.Ví dụ 3: tìm kiếm $m$ để hàm số thường xuyên trên tập xác minh của chúng: $f(x),, = ,,left{ eginarraylfrac2 - 7x + 5x^2x^2 + x - 2& & extnếu,x > 1,,,,,,\- 3mx - 1& & extnếu,,x le 1endarray
ight.$Hướng dẫn giải:- Tập xác định: $D = mathbbR$- ví như $x > 1$, thì hàm số $f(x) = frac2 - 7x + 5x^2x - 1$.Đây là hàm phân thức hữu tỉ tất cả tập xác định là $left( - infty ;1
ight) cup left( 1; + infty
ight)$.Vậy nó liên tục trên khoảng chừng $left( 1; + infty
ight)$.- trường hợp $x Đây là hàm đa thứccó tập khẳng định là $mathbbR$.Vậy nó tiếp tục trên mỗi khoảng tầm $left( - infty ;1
ight)$.- trường hợp $x = 1$$f(1) = - 3m - 1$$mathop lim limits_x o 1^ + f(x) = mathop lim limits_x o 1^ + frac2 - 7x + 5x^2x^2 + x - 2 = mathop lim limits_x o 1^ + fracleft( x - 1
ight)left( 5x - 2
ight)left( x - 1
ight) = mathop lim limits_x o 1 (5x - 2) = 3$$mathop lim limits_x o 1^ - f(x) = mathop lim limits_x o 1^ - ( - 3mx - 1) = - 3m – 1$.Để hàm số $f(x)$ gián đoạn tại $x_0 = 1$ khi $mathop lim limits_x o 1^ + f(x) = mathop lim limits_x o 1^ - f(x) = f(1) Leftrightarrow m = - frac43$.- Vậy: giá trị $m$ bắt buộc tìm là $m = - frac43$.Bài tập vận dụng:Bài tập 1: Xét tính liên tiếp của hàm số trên tập khẳng định của chúng:a) $f(x), = ,left{ eginarraylfracx - 5x^2 - 25& & extnếu,,x > 5\(x - 5)^2 + frac110& & extnếu,x le ,,5endarray
ight.,,,,$b) $f(x),, = ,,left{ eginarrayl1 - cos x& & extnếu,x le 0,,,,,,\sqrt x + 1& & extnếu,,x > ,0endarray
ight.$d) $f(x) = left{ eginarrayl1 - x& & extnếu,,,x le ,3\fracx^2 - 2x - 32x - 6& & extnếu,,,,,x, > ,3endarray
ight.$e) $f(x) = left{ eginarraylfracx^4 - 1x^3 - 1& & extnếu,,x - 2x& & extnếu,,x ge 1endarray
ight.,$f) $f(x) = left{ eginarraylfracx^3 - 3x^2 + 3x - 1x - 1& & extnếu,,x - 2x& & extnếu,,x ge 1endarray
ight.,,$g) $f(x) = left{ eginarraylx^2 - 3x + 4& & extnếu,,x 5& & extnếu,,x = 2\2x + 1& & extnếu,,x > 2endarray
ight.$h) $f(x) = left{ eginarraylfrac12 - 6xx^2 - 7x + 10& & extnếu,,x
e 2\2& & extnếu,,x = 2endarray
ight.$Bài tập 2: Tìm m nhằm hàm số liên tục trên tập khẳng định của chúng:a) $f(x) = left{ eginarraylx^2 và & extnếu,,x 2mx - 3 & & extnếu,,x ge 1endarray
ight.$b) $f(x), = ,left{ eginarraylfracx - 5x^2 - 25& & extnếu,,x > 5\(x - 5)^2 + 3m& & extnếu,,x le ,,5endarray
ight.,,,,,$c) $f(x),, = ,,left{ eginarrayl1 - mcos x& & extnếu,x le 0,,,,,,\fracx^3 + xx & & extnếu,,x > ,0endarray
ight.$d) $f(x) = left{ eginarraylfracx - 1x^3 - 1& & extnếu,,x - 2mx + 1& & extnếu,,x ge 1endarray
ight.,,$e) $f(x) = left{ eginarraylfracx^4 - 1x^3 - 1& & extnếu,,x - 2(m - 1)x + 3& & extnếu,,x ge 1endarray
ight.,,$f) $f(x) = left{ eginarraylfracx^3 - 3x^2 + 3x - 1x - 1& & extnếu,,x m - 2x & & extnếu,,x ge 1endarray
ight.,,$g) $f(x) = left{ eginarrayl2m^2 + 1& & extnếu,,x le 1\fracx^3 - x^2 + 2x - 2x - 1& & extnếu,,x > 1endarray
ight.$h) $f(x) = left{ eginarraylx^2 + x & & extnếu,,x 2 & & extnếu,,x = 1\mx + 1 và & extnếu,,x > 1endarray
ight.$i) $f(x) = left{ eginarraylx^2 & & extnếu,,x 2mx - 3& & extnếu,,x ge 1endarray
ight.$j) $f(x) = left{ eginarraylfracx^2 - 4x + 3x - 1 và extnếu,,x mx + 2quad quad quad và extnếu,,x ge 1endarray
ight.$Vấn đề 3: chứng minh phương trình gồm nghiệm:Ví dụ 1: Chứng minh phương trình $3x^3 + 2x - 2 = 0$ gồm nghiệm trong khoảng $left( 0;1
ight)$Hướng dẫn giải:- Xét hàm số $f(x) = 3x^3 + 2x - 2$là hàm nhiều thức, thường xuyên trên R tức liên tiếp trên khoảng $left( 0;1
ight)$.- Ta có: $f(0).f(1) = ( - 2).(3) = - 6 - bởi vì đó: $exists c in (0;1):,f(c) = 0$, tức phương trình tất cả nghiệm $c in left( 0;1
ight)$.Ví dụ 2: chứng tỏ phương trình $2x^3 - 6x^2 + 5 = 0$ có bố nghiệm trong tầm $left( - 1;3
ight)$.Hướng dẫn giải:- Xét hàm số $f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 5$ liên tục trên R nên $f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 5$ tiếp tục trên hầu hết đoạn.- Ta có: $f( - 1) = - 3 0$, $f(2) = - 3 0$. Suy ra phương trình tất cả nghiệm trong những khoảng $left( - 1;0
ight)$, $left( 0;2
ight)$, $left( 2;3
ight)$.- Vậy: Phương trìn có cha nghiệm trên khoảng chừng $left( - 1;3
ight)$Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình: $ax^2 + bx + c = 0$ luôn có nghiệm $x in left< 0;frac13
ight>$với $a
e 0$ cùng $2a + 6b + 19c = 0$.Hướng dẫn giải:- Xét hàm số $f(x) = ax^2 + bx + c$ liên tục trên $mathbbR$.Ta có: $f(0) = c$, $f(frac13) = frac19(a + 3b + 9c)$Do đó: $f(0) + 18f(frac13) = 2a + 6b + 19c = 0$Như thế:- giả dụ $f(0) = 0$ hay $f(frac13) = 0$ phương trình $f(x) = 0$ hiển nhiên bao gồm nghiệm thuộc $left< 0;frac13
ight>$.- nếu như $f(0)
e 0$ với $f(frac13)
e 0$ ta thấy $f(0)f(frac13) Vậy: Phương trình $f(x) = 0$ tất cả nghiệm trên $left< 0;frac13
ight>$.Ví dụ 4: Với đông đảo $a,,b,,c in R$, chứng tỏ phương trình: $a(x - b)(x - c) + b(x - c)(x - a) + c(x - a)(x - b) = 0$ luôn luôn luôn bao gồm nghiệm.Hướng dẫn giải:- Xét hàm số $f(x) = a(x - b)(x - c) + b(x - c)(x - a) + c(x - a)(x - b)$ thường xuyên trên $mathbbR$.$f(a) = a(a - b)(a - c)$, $f(b) = b(b - c)(b - a)$, $f(c) = c(c - a)(c - b)$Giả sử $a le b le c$ (tương tự những trường vừa lòng sau)- trường hợp $a = 0$ hoặc $b = 0$hoặc $c = 0$ ta tất cả $f(0) = 0$ cho nên vì thế $x = 0$ là một trong nghiệm của phương trình.- ví như $b
e 0$. Ít nhất có 1 trong những hai trường hợp xảy ra:+Với $a le b Suy ra phương trình bao gồm nghiệm bên trên đoạn $left< a;b
ight>$+Với $0 Suy ra phương trình bao gồm nghiệm bên trên đoạn $left< b;c
ight>$.Ví dụ 5: chứng tỏ rằng ví như $2a + 3b + 6b = 0$ thì phương trình $
mata
mn^
m2x + b an x + c = 0$ có ít nhất một nghiệm trong tầm $left( kpi ;fracpi 4 + kpi
ight)$ với $k in Z$Hướng dẫn giải:- Xét hàm số $
mf(x) = ata
mn^
m2x + b an x + c$Đặt $
mt = tanx, ,
mx_
m0 in left( kpi ;fracpi 4 + kpi
ight) Rightarrow t in left( 0;1
ight)$. Khi ấy ta có: $
mf(t) = a
mt^
m2 + bt + c$ có tối thiểu một nghiệm $
mt_
m0 in
m(0;1)$.- giả dụ $
ma
e
m0,,,
mc
e
m0$. Ta có: $
mf(0)fleft( frac
m2
m3
ight)
m = cleft( frac
m4
m9a + frac23b + c
ight) = - fracc^23 - nếu $
mc = 0$, dịp đó phương trình gồm nghiệm $
mt_
m1 = 0$, $
mt_
m2 = frac23$ gồm nghĩa $
mt_
m2 = frac23 in (0;1)$.- giả dụ $
ma = 0$. Ta có: $left{ eginarrayl
mbt + c = 0\
m3(b + 2c) = 0endarray
ight.$+Với $
mb = c = 0$ phương trình $
mf(t) = 0$ gồm vô số nghiệm cần tất nhiên sẽ sở hữu được một nghiệm trực thuộc $
mt_
m0 in
m(0;1)$.+Với $
mb
e
m0,,,
mt = - frac
mc
mb = frac12 in left( 0;1
ight)$.- cầm lại: $forall a,,b,,c$ vừa lòng $2a + 3b + 6b = 0$ thì phương trình $
mf(t) = 0$ có tối thiểu một nghiệm $
mt_
m0 in
m(0;1)$, tức là $2a + 3b + 6b = 0$ thì phương trình $
mata
mn^
m2x + b an x + c = 0$ có tối thiểu một nghiệm trong tầm $left( kpi ;fracpi 4 + kpi
ight)$ cùng với $k in Z$.Bài tập vận dụng:Bài tập 1: chứng minh rằng những phương trình sau gồm 3 nghiệm phân biệt:a) $x^3 - 3x + 1 = 0$b) $x^3 + 6x^2 + 9x + 1 = 0$c) $2x + 6sqrt<3>1 - x = 3$Bài tập 2: chứng tỏ rằng những phương trình sau luôn luôn có nghiệm:a) $x^5 - 3x + 3 = 0$b) $x^5 + x - 1 = 0$c) $x^4 + x^3 - 3x^2 + x + 1 = 0$Bài tập 3: chứng minh rằng phương trình: $x^5 - 5x^3 + 4x - 1 = 0$ gồm 5 nghiệm bên trên $(–2; 2)$.
Xem thêm: Lịch Bóng Đá Copa America 2021, Copa America
Bài tập 4: minh chứng rằng những phương trình sau luôn luôn có nghiệm với đa số giá trị của tham số:a) $m(x - 1)^3(x - 2) + 2x - 3 = 0$b) $x^4 + mx^2 - 2mx - 2 = 0$c) $a(x - b)(x - c) + b(x - c)(x - a) + c(x - a)(x - b) = 0$d) $(1 - m^2)(x + 1)^3 + x^2 - x - 3 = 0$e) $cos x + mcos 2x = 0$f) $m(2cos x - sqrt 2 ) = 2sin 5x + 1$Bài tập 5: Chứng minh rằng phương trình:a) $x^3 + 6x^2 + 9x + 1 = 0$ gồm 3 nghiệm phân biệt.b) $m(x - 1)^3(x^2 - 4) + x^4 - 3 = 0$ luôn luôn có tối thiểu 2 nghiệm với mọi giá trị của m.c) $(m^2 + 1)x^4 - x^3 + 1 = 0$ luôn có ít nhất 2 nghiệm nằm trong tầm $left( - 1;sqrt 2
ight)$ với mọi m.d) $x^3 + mx^2 - 1 = 0$ luôn có một nghiệm dương.e) $x^4 - 3x^2 + 5x - 6 = 0$ có nghiệm trong tầm $(1; 2)$.Bài tập 6: chứng tỏ các phương trình sau luôn có nghiệm:a) $ax^2 + bx + c = 0$ với $2a + 3b + 6c = 0$b) $ax^2 + bx + c = 0$ với $a + 2b + 5c = 0$c) $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$Bài tập 7: Cho $m > 0$ với $a$, $b$, $c$ là 3 số thực thoả mãn: $fracam + 2 + fracbm + 1 + fraccm = 0$. Minh chứng rằng phương trình: $f(x) = ax^2 + bx + c = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng tầm $(0; 1)$.HD: Xét 2 trường phù hợp $c = 0$; $c
e 0$. Cùng với $c
e 0$ thì $f(0).fleft( fracm + 1m + 2
ight) = - fracc^2m(m + 2)
