Cho tam giác abc nhọn

     

Ta có : (widehat AMO = 90^o) (Do AM là tiếp tuyến đường của đường tròn trung tâm O tại M)

Ta tất cả (widehat AMO = widehat AKO = 90^0) (gt) ( Rightarrow ) Tứ giác AMKO bao gồm hai đỉnh M, K kề nhau cùng nhìn cạnh AO bên dưới 1 góc 900

( Rightarrow ) Tứ giác AMKO là tứ giác nội tiếp (Tứ giác bao gồm hai đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh dưới những góc bằng nhau).

Bạn đang xem: Cho tam giác abc nhọn

b) KA là tia phân giác của góc MKN.

Ta có : (widehat ANO = 90^o) (Do AN là tiếp tuyến đường của đường tròn trung khu O tại N)

Xét tứ giác ANOK bao gồm (widehat ANO + widehat AKO = 90^0 + 90^0 = 180^0 Rightarrow ) Tứ giác ANOK là tứ giác nội tiếp (Tứ giác gồm tổng nhì góc đối bằng 1800)

Tứ giác AMKO nội tiếp ( Rightarrow widehat AKM = widehat AOM) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM)

Tứ giác ANOK nội tiếp ( Rightarrow widehat AKN = widehat AON) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN)

Mà (widehat AOM = widehat AON) (tính hóa học hai tiếp tuyến đường AM và AN giảm nhau tại A).

( Rightarrow widehat AKM = widehat AKN Rightarrow KA) là phân giác của góc MKN.

c) (AN^2 = AK.AH)

Ta tất cả (AM = AN) (tính chất hai tiếp tuyến giảm nhau) ( Rightarrow A) ở trong trung trực của MN.

Xem thêm: 4 7 Là Ngày Gì, Xem Lịch Ngày 4 Tháng 7 Năm 2021, 10 Sự Thật Thú Vị Về Quốc Khánh Mỹ 4

(OM = ON,,left( = R ight) Rightarrow O) thuộc trung trực của MN.

( Rightarrow OA) là trung trực của MN ( Rightarrow OA ot MN).

( Rightarrow widehat AMN = widehat AOM) (cùng phụ với góc OAM).

Mà (widehat AKM = widehat AOM,,left( cmt ight) Rightarrow widehat AKM = widehat AMN = widehat AMH)

Xét tam giác AMH và tam giác AKM có :

(widehat MAK) chung ;

(widehat AKM = widehat AMH,,left( cmt ight)) ;

(Rightarrow Delta AMHacksim Delta AKM,,left( g.g ight)Rightarrow fracAMAH=fracAKAMRightarrow AM^2=AH.AK)

Mà (AM = AN,,left( cmt ight) Rightarrow AN^2 = AH.AK)

d) H là trực tâm tam giác ABC.

Xem thêm: Bộ Não Của Máy Tính Là Gì ?A Tại Sao Cpu Được Coi Là Bộ Não Của Máy Tính

Gọi (D) là giao điểm của (AC) cùng (left( O ight).)

Xét (Delta ADN) cùng (Delta ACN) ta có :

(angle CAN,,,chung)

(angle DNA = angle DCN) (góc nội tiếp và góc tạo vày tia tiếp tuyến và dây cung thuộc chắn cung (DN))

(eginarrayl Rightarrow Delta ADN sim Delta ACN,,left( g - g ight)\ Rightarrow AD.AC = AN^2 Rightarrow AD.AC = AH.AK,,,left( theo,,,cm,,b ight) Rightarrow fracAHAC = fracADAKendarray)

Xét (Delta AHD) và (Delta ACK) ta có :

(eginarraylangle KAC,,,chung\fracAHAC = fracADAK,,,,left( cmt ight)\ Rightarrow Delta AHD sim Delta ACK,,,left( c - g - c ight)\ Rightarrow angle AKC = angle ADH = 90^0.\ Rightarrow HD ot DCendarray)

Lại tất cả (DB ot DC Rightarrow B,,,H,,,D) trực tiếp hàng.

Hay (BH ot AC.)

Xét (Delta ABC) ta gồm (BD,,,AH) là hai đường cao của tam giác nhưng (BD cap AH = left H ight Rightarrow H) là trực trọng điểm của (Delta ABC,,,,left( dpcm ight).)