CHO NỬA ĐƯỜNG TRÒN TÂM O ĐƯỜNG KÍNH AB=2R

     

Cho nửa đường tròn trọng điểm (O), đường kính (AB = 2R). Bên trên nửa phương diện phẳng có bờ là (AB) đựng nửa mặt đường tròn, vẽ tiếp tuyến (Ax,,,By). Từ bỏ điểm (M) tùy ý ở trong nửa con đường tròn ((M)khác (A,B)) vẽ tiếp đường tại (M) cắt (Ax,,,By) thứu tự tại (C,,,D). Hotline (E) là giao điểm của (CO) với (AM), (F)là giao điểm của (DO) và (BM).

Bạn đang xem: Cho nửa đường tròn tâm o đường kính ab=2r

a) chứng minh (4)điểm (A,C,M,O) thuộc thuộc một mặt đường tròn.

b) chứng minh (AC + BD = CD) và tứ giác (MEOF) là hình chữ nhật.

c) minh chứng tích (AC.BD) không đổi khi (M) cầm tay trên nửa con đường tròn.

d) Tìm vị trí của (M) trên nửa mặt đường tròn làm thế nào cho diện tích tứ giác (ABDC) bé dại nhất.


A.
B.
C.
D.

Đáp án đúng:


Lời giải của Tự học 365

Giải đưa ra tiết:

*

a) Chứng minh (4)điểm (A,C,M,O) thuộc thuộc một đường tròn.

Vì tam giá (Delta OAC) vuông tại (A) nên nó nội tiếp mặt đường tròn 2 lần bán kính (CO) (1)

Lại tất cả (Delta OMC) vuông tại (M) (do (MC) là tiếp con đường tại (M)) cho nên nó nội tiếp mặt đường tròn đường kính (CO) (2)

Từ (1) và (2) ( Rightarrow A,C,M,O) thuộc thuộc một con đường tròn có 2 lần bán kính (CO) (đpcm).

b) Chứng minh (AC + BD = CD) cùng tứ giác (MEOF) là hình chữ nhật.

Xem thêm: Vì Sao Ca Khúc Nhạc Hoa Lời Việt ‘ Chỉ Là Không Cùng Nhau Tăng Phúc

+) Xét đường tròn (left( O ight)) gồm (CM) với (CA) là nhị tiếp tuyến cắt nhau đề xuất (AC = CM) (tính chất hai tiếp tuyến giảm nhau)

Và (DM) cùng (DB) là nhì tiếp tuyến cắt nhau cần (DM = DB) (tính hóa học hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra (AC + BD = centimet + MD = CD) (đpcm).

+) cm Tứ giác (MEOF) là hình chữ nhật

Ta tất cả (CM = CAleft( cmt ight);,OM = OA = R) cần (OC) là con đường trung trực của đoạn (AM Rightarrow OC ot AM) trên (E Rightarrow widehat MEO = 90^0.) (3)

Tương từ bỏ ta tất cả (widehat MFO = 90^circ ) (4)

Xét (Delta AMB) nội tiếp mặt đường tròn (left( O ight)) có (AB) là 2 lần bán kính nên (Delta MAB) vuông trên (M) ( Rightarrow widehat EMF = 90^circ ) (5)

Từ (3), (4) cùng (5) ( Rightarrow ) tứ giác (MEOF) là hình chữ nhật (đpcm).

c) Chứng minh tích (AC.BD) không đổi khi (M) di động trên nửa mặt đường tròn.

Do (MEOF) là hình chữ nhật ( Rightarrow Delta COD) vuông tại (O).

Có (CD) là tiếp tuyến đường của (left( O ight)) ( Rightarrow MO ot CD) tại (M.)

Suy ra (MO) là đường cao của (Delta COD), do đó (CM.MD = OM^2 = R^2) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Từ ý a) ta gồm (AC = CM;,,BD = MD)( Rightarrow AC.BD = CM.MD = R^2) (không đổi) (đpcm).

d) Tìm vị trí của (M) bên trên nửa con đường tròn làm thế nào để cho diện tích tứ giác (ABDC) bé dại nhất.

Xem thêm: Trên Tay Lò Nướng Không Khí Lock&Amp;Lock, Lò Nướng Không Khí Lock&Lock Ejf691 (10 Lít)

Ta có : (AC,BD) là tiếp đường của (left( O ight)) ( Rightarrow AC ot AB;,,,BD ot AB) ( Rightarrow AC//BD)

Do đó: (ABCD) là hình thang vuông gồm (AB) là mặt đường cao.

Khi kia ta tất cả : (S_ABCD = frac12ABleft( AC + BD ight)) ( = frac12AB.CD) ( = frac12ABleft( AC + BD ight)mathop ge limits^Co - si frac12AB.2.sqrt AC.BD = 2R^2)

(do theo câu b) ta tất cả (CD = AC + BD) và theo câu c) ta có(AC.BD = R^2))

Nên (min S_ABCD = 2R^2 Leftrightarrow CD = AB) ( Leftrightarrow CD//AB Leftrightarrow MO ot AB) (do (MO ot CD))