CHO HÌNH CHÓP SABCD CÓ ĐÁY LÀ TỨ GIÁC LỒI

     
*



Bạn đang xem: Cho hình chóp sabcd có đáy là tứ giác lồi

*

Ngữ văn 12
*
Sinh học 12 Toán học 12 Tiếng Anh 12
Vật lí 12
*
Hóa học 12
*
Lịch sử 12
*
Địa lí 12


Xem thêm: Ngồi Đàn Một Khúc Hát Dành Tặng Những Ai Đang Buồn, Ngồi Đàn Một Khúc Hát Cover

*
GDCD 12
*
Công nghệ 12
*
Tin học 12
Ngữ văn 11 Toán học 11 Tiếng Anh 11 Vật lí 11

Câu hỏi Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi và góc tạo bởi các mặt phẳng \(\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right),\)\(\left( {SCD} \right),\,\left( {SDA} \right)\) với mặt đáy lần lượt là \({90^0},\,{60^0},\,{60^0},\,{60^0}\). Biết rằng tam giác SAB vuông cân tại S, \(AB = a\) và chu vi tứ giác \(ABCD\) là \(9a\). Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

A \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).B \(V = {a^3}\sqrt 3 \). C \(V = \dfrac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{9}\).D \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\).


Xem thêm: Thánh Lễ Trực Tuyến Giáo Phận Sài Gòn, Thánh Lễ Trực Tuyến Hôm Nay

Phương pháp giải:

Xác định hình chiếu H của S lên mặt phẳng (ABCD)

Thể tích của khối chóp S.ABCD là: \(V = \dfrac{1}{3}{S_{ABCD}}.SH\).


Lời giải chi tiết:

*

Gọi \(H\) là trung điểm của AB, do tam giác SAB vuông cân tại S \( \Rightarrow SH \bot AB\) và \(SH = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{a}{2}\)

Mà \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right),\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Dựng \(HI \bot BC,HJ \bot AD,HK \bot CD\). Do góc tạo bởi các mặt phẳng \(\left( {SBC} \right),\)\(\left( {SCD} \right),\,\left( {SDA} \right)\) với mặt đáy lần lượt là \({60^0},\,{60^0},\,{60^0}\) nên \(\widehat {SIH} = \widehat {SJH} = \widehat {SKH} = {60^0}\)\( \Rightarrow \Delta SIH = \Delta SJH = \Delta SKH\,\left( {g.c.g} \right)\)\( \Rightarrow IH = JH = KH\)

\(\Delta SHI\) vuông tại H \( \Rightarrow HI = \dfrac{{SH}}{{\tan \widehat {SIH}}} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{\tan {{60}^0}}} = \dfrac{a}{{2\sqrt 3 }}\)\( \Rightarrow IH = JH = KH = \dfrac{a}{{2\sqrt 3 }}\)

Ta có: \({S_{ABCD}} = {S_{HBC}} + {S_{HCD}} + {S_{HAC}} = \dfrac{1}{2}IH.BC + \dfrac{1}{2}JH.AD + \dfrac{1}{2}KH.CD = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{{2\sqrt 3 }}.\left( {BC + AD + CD} \right)\)\( = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{{2\sqrt 3 }}.\left( {9a - a} \right)\) (do chu vi tứ giác ABCD là 9a) \( = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{{2\sqrt 3 }}.8a = \dfrac{{2{a^2}}}{{\sqrt 3 }}\)

Thể tích V của khối chóp S.ABCD là: \(V = \dfrac{1}{3}{S_{ABCD}}.SH = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{2{a^2}}}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{a}{2} = \)\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\).