CHO HÌNH CHÓP SABCD CÓ ĐÁY LÀ TỨ GIÁC LỒI
Bạn đang xem: Cho hình chóp sabcd có đáy là tứ giác lồi
Ngữ văn 12
Vật lí 12
Xem thêm: Ngồi Đàn Một Khúc Hát Dành Tặng Những Ai Đang Buồn, Ngồi Đàn Một Khúc Hát Cover
Ngữ văn 11 Toán học 11 Tiếng Anh 11 Vật lí 11
Câu hỏi Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi và góc tạo bởi các mặt phẳng \(\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right),\)\(\left( {SCD} \right),\,\left( {SDA} \right)\) với mặt đáy lần lượt là \({90^0},\,{60^0},\,{60^0},\,{60^0}\). Biết rằng tam giác SAB vuông cân tại S, \(AB = a\) và chu vi tứ giác \(ABCD\) là \(9a\). Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).B \(V = {a^3}\sqrt 3 \). C \(V = \dfrac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{9}\).D \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\).Xem thêm: Thánh Lễ Trực Tuyến Giáo Phận Sài Gòn, Thánh Lễ Trực Tuyến Hôm Nay
Phương pháp giải:
Xác định hình chiếu H của S lên mặt phẳng (ABCD)
Thể tích của khối chóp S.ABCD là: \(V = \dfrac{1}{3}{S_{ABCD}}.SH\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(H\) là trung điểm của AB, do tam giác SAB vuông cân tại S \( \Rightarrow SH \bot AB\) và \(SH = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{a}{2}\)
Mà \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right),\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)
Dựng \(HI \bot BC,HJ \bot AD,HK \bot CD\). Do góc tạo bởi các mặt phẳng \(\left( {SBC} \right),\)\(\left( {SCD} \right),\,\left( {SDA} \right)\) với mặt đáy lần lượt là \({60^0},\,{60^0},\,{60^0}\) nên \(\widehat {SIH} = \widehat {SJH} = \widehat {SKH} = {60^0}\)\( \Rightarrow \Delta SIH = \Delta SJH = \Delta SKH\,\left( {g.c.g} \right)\)\( \Rightarrow IH = JH = KH\)
\(\Delta SHI\) vuông tại H \( \Rightarrow HI = \dfrac{{SH}}{{\tan \widehat {SIH}}} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{\tan {{60}^0}}} = \dfrac{a}{{2\sqrt 3 }}\)\( \Rightarrow IH = JH = KH = \dfrac{a}{{2\sqrt 3 }}\)
Ta có: \({S_{ABCD}} = {S_{HBC}} + {S_{HCD}} + {S_{HAC}} = \dfrac{1}{2}IH.BC + \dfrac{1}{2}JH.AD + \dfrac{1}{2}KH.CD = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{{2\sqrt 3 }}.\left( {BC + AD + CD} \right)\)\( = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{{2\sqrt 3 }}.\left( {9a - a} \right)\) (do chu vi tứ giác ABCD là 9a) \( = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{{2\sqrt 3 }}.8a = \dfrac{{2{a^2}}}{{\sqrt 3 }}\)
Thể tích V của khối chóp S.ABCD là: \(V = \dfrac{1}{3}{S_{ABCD}}.SH = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{2{a^2}}}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{a}{2} = \)\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\).
