CHO A+B+C=0 CHỨNG MINH A^3+B^3+C^3=3ABC

     

Khi học tập môn Toán mỗi học viên đều chạm mặt phải những trở ngại riêng của mình. Điều này rất đơn giản hiểu, vì khi học Toán phần lớn học sinh chỉ muốn dừng lại ở nơi "" tìm thấy được giải thuật và gồm đáp số đúng"". Giả dụ vậy thì cho dù cho có giải được hàng ngàn bài toán kỹ năng mà học sinh thu lặt được cũng chẳng là bao so với giải ít bài xích tập hơn nhưng luôn để ý đến để kiếm tìm ra phương pháp giải khác, luôn luôn luôn tra cứu cách khai quật bài toán để lấy ra câu hỏi tương tự. Sự si mê và luôn tìm cách khai thác bài toán, là bé đường tốt nhất có thể để tăng trưởng trong học Toán.

 




Bạn đang xem: Cho a+b+c=0 chứng minh a^3+b^3+c^3=3abc

*
15 trang | chia sẻ: ccevents.vn | Lượt xem: 12167 | Lượt tải: 6Download


Xem thêm: Một Năm Có Bao Nhiêu Ngày, Tuần, Quý, Cách Tính Như Nào? 1 Năm Có Bao Nhiêu Giờ, Phút, Giây

Bạn sẽ xem văn bản tài liệu Những ý nghĩ từ việc Phânt ích A3 + B3 + C3 - 3ABC thành nhân tử, để sở hữu tài liệu về máy các bạn click vào nút tải về ở trên


Xem thêm: Tìm M Để Phương Trình Có 2 Nghiệm X1 X2 Thỏa Mãn Điều Kiện Cho Trước

Những ý suy nghĩ từ việc ""phân tích a3 +b3+c3 - 3abc thành nhân tử ""A- Đặt vấn đề.Khi học môn Toán mỗi học sinh đều gặp mặt phải những trở ngại riêng của mình. Điều này rất dễ hiểu, vì khi tham gia học Toán phần lớn học sinh chỉ muốn dừng lại ở nơi "" đưa ra được giải thuật và gồm đáp số đúng"". Ví như vậy thì cho dù là giải được hàng nghìn bài toán kiến thức mà học viên thu lượm được cũng chẳng là bao đối với giải ít bài bác tập hơn mà luôn lưu ý đến để tìm ra phương pháp giải khác, luôn luôn luôn tìm kiếm cách khai thác bài toán để mang ra việc tương tự. Sự đam mê và luôn luôn tìm cách khai thác bài toán, là con đường cực tốt để đi lên trong học tập Toán.Bài viết này tôi trình bày nhằm mục đích giúp học viên có một định hướng đúng đắn trong quá trình học Toán.B - Nội dung.I - Phân tích:A = a3 + b3 +c3 -3abc thành nhân tử.Lời giải: trường đoản cú (a+b)3= a3 + 3a2b +3ab2 + b3= a3 + b3 + 3ab (a+b)Ta suy ra: a3 + b3 = (a+b)3 - 3ab (a+b)(1)áp dụng hằng đẳng thức (1) vào giải câu hỏi ta có: A = (a3 + b3) + c3 - 3abc = (a+b)3 - 3ab (a+b) + c3 - 3abc = (a+b)3 + c3 - 3ab (a+b) - 3abc = = (a+b+c) (a2 +2ab + b2 -ac - bc + c2 - 3ab) = (a+b+c) (a2+ b2 +c2 -ab - bc - ac)(*)II - Lời bình.1. Giả dụ ta đặt câu hỏi :a3 + b3 = (a+b)3 - 3ab (a+b) thì a3+ b3 + c3 sẽ bởi bao nhiêu? lúc ấy giúp ta nghĩ đến chứng minh hằng đẳng thức:a3 + b3 +c3 = (a+b+c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac + 2bc) - 3bc (b+c) (2).Việc chứng tỏ hằng đẳng thức (2) là 1 trong việc không khó so với bạn đọc buộc phải tôi không triệu chứng minh.áp dụng hằng đẳng thức (2) vào giải việc ta có: A = a3 + b3 +c3 - 3abc = (a+b+c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac +2bc) - 3bc (b+c) - 3abc = (a+b+c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac +2bc) - 3bc (a+b+c) = (a+b+c) (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac).2. Bởi A là 1 trong những đa thức bao gồm bậc là lẻ đối với cả các biến phải dấu của a cũng là dấu của a3, vết của b cũng chính là dấu của b3 cùng dấu của c cũng chính là dấu của c3. Cho nên việc giải việc :Bài toán:Phân tích các đa thức sau thành phân tử:a. A3 - b3 + c3 + 3abcb.a3 - b3 - c3 - 3abcc. - a3 - b3 - c3 + 3abc là 1 trong những vấn đề đơn giản đối với bạn đọc bởi -b3 ta rất có thể viết thành (-b)3, -c3 ta rất có thể viết thành (-c)3 và -a3 ta cũng hoàn toàn có thể viết thành (-a)3. Do đó bài toán bên trên được viết lại như sau:a. A3 - b3 + c3 + 3abc = a3 + (-b)3 + c3 - 3a (-b)c.b. A3 - b3 - c3 - 3abc = a3 + (-b)3 + (-c)3 - 3a (-b) (-c)c. - a3 - b3 - c3 + 3abc = - (a3 + b3 + c3 - 3abc)Mong độc giả tự giải.III - khai thác bài toán.Nhận xét 1: ví như ta cho A = a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 thì ta đã có:a+b+c = 0a2 + b2 + c2 - ab -bc - ac = 0=> a+b+c = 0 a = b = cTừ thừa nhận xét 1 chất nhận được ta nghĩ mang lại hai bài toán sau:Bài toán 1: minh chứng rằng: a3 + b3 + c3= 3abc thì a+b+c = 0 hoặc a = b = c việc 2: đến a+b+c = 0 . Hãy minh chứng rằng a3 + b3 + c3 - 3abc = 0Nhận xét 2: Lời bình 2 được cho phép ta suy nghĩ đến một số bài toán sau:Bài toán 3: chứng tỏ rằng :a3 - b3 + c3 + 3abc M a-b+c.Cách giải: vận dụng hằng đẳng thức (*) vào giải vấn đề ta có:a3 - b3 + c3 + 3abc = a3 + (-b)3 + c3 - 3a (-b)c = (a+(-b) + c) = (a-b+c) (a2 + b2 +c2 +ab - ac + bc) M (a-b+c) (đ.p.c.m) việc 4: cho rằng số thoải mái và tự nhiên có tía chữ số toại ý M 11. Hãy minh chứng rằng: a3 - b3 + c3 + 3abc M 11. Phương pháp giải: M 11 => a - b +c M 11 (3)Theo vấn đề 3: a3 - b3 + c3 + 3abc = (a-b+c) (a2+b2+c2 + ab - ac + bc) (4)Từ (3) với (4) ta suy ra đ.p.c.m.Bài toán 5: đến M 7. Hãy minh chứng rằng: B = 8a3 - 64b3 +c3 + 24abcM7Cách giải: M 7 => 2a - 4b + c M 7 (5)Mặt khác: B = 8a3 - 64b3 + c3 + 24abc = (2a)3 - (4b)3 + c3 - 3 (2a) (-4b) c; theo vấn đề 3 ta có:B = (2a - 4b +c) (4a2 + 16b2+ c2 + 8ab - 2ac + 4bc)(6).Từ (5) cùng (6) ta suy ra (đ.p.c.m)Nhận xét 3: từ bỏ A = a3 + b3 +c3 - 3abc = (a+b+c) (a2 + b2 + c2 -ab - bc - ac); Ta tất cả và dấn xét như sau :+ A M (a+b+c) + A M (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac).+ những phân số cùng sẽ là các số nguyên với mọi: a, b, c ẻ Z.+ Nếu; a,b,c,k là những số nguyên tán đồng (a+b+c) M k thì A M kTừ thừa nhận xét 3 cho phép ta suy nghĩ đến một số trong những bài toán sau:Bài toán 6: chứng tỏ rằng đa thức A = a3 + b3 +c3 - 3abc chia hết mang đến đa thức a+b+c cùng tìm mến của phép chia.Bài toán này sẽ không khó ao ước bạn phát âm tự giải.Bài toán 7:Cho a,b,c,k ẻ N* cùng UCLN (abc, a+b+c) = 1. Hãy minh chứng rằng giả dụ (a3+b3+c3+kabc) M (a+b+c) thì (k+3) M (a+b+c).Cách giải: (a3+b3+c3+kabc) M (a+b+c) => (a3+b3+c3 - 3abc +kabc+3abc) M (a+b+c)=> (a+b+c) (a2+b2+c2 - ab - bc - ac) +abc (k+3) M a+b+c=> (abc) (k+3) M (a+b+c) (7)Mặt không giống : UCLN (abc, a+b+c) = 1 (8).Từ (7) với (8) suy ra (đ.p.c.m)Bài toán 8:Chứng minh rằng đa thức : A = a3 + b3 +c3 - 3abc chia hết mang lại đa thức .B = a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac cùng tìm yêu thương của phép chia A mang lại BCách giải: + Ta có: A = a3 + b3 + c3 - 3abc = (a+b+c) (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac) = (a+b+c) B M B (đ.p.c.m)+ mến của phép chia A mang lại B là a+b+cBài toán 9: chứng tỏ rằng giả dụ a,b,c là cha số nguyên khác 0 và đôi một khác biệt thì những phân số B= với C = là những số nguyên.Bài toán này không khó ý muốn bạn hiểu tự giải.Bài toán 10: mang đến a,b,c là cha số nguyên liên tiếp. Hãy chứng minh rằng quý hiếm của biểu thức B= không phụ thuộc vào cực hiếm của a,b,c.Cách giải:Ta có B = = a2 +b2 +c2 - ab - bc -ac = vì a,b,c là bố số nguyên tiếp tục nên không mất tính tổng quát của vấn đề ta đưa sử a>b>c:Ta có: a = c+2 và b = c+1.Thay a = c+2 cùng b = c+1 vào biểu thức B trên ta có. B = =. Không phụ thuộc vào vào cực hiếm của a,b,c (đ.p.c.m)Bài toán 11: đến biểu thức B = . Hãy chứng tỏ rằng nếu a,b,c là bố số nguyên liên tục thì B là một vài nguyên phân tách hết đến 3.Cách giải:Theo kết quả bài toán 8 ta tất cả B = a+b+c (9)Theo bài bác ra a,b,c là cha số nguyên liên tiếp(10)Từ (9) với (10) ta suy ra: B = a+b+c M 3 (tổng bố số nguyên liên tục chia hết mang lại 3)(đ.p.c.m)Bài toán 12: mang lại M 9. Hãy chứng tỏ rằng A = a3 +b3 +c3 - 3abc M9Cách giải: + M 9 => a+b+c M 9 (11)+ phương diện khác: A= a3 +b3 + c3 - 3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2 - ab - bc - ac) (12).Từ (11) với (12) suy ra (đ.p.c.m)Bài toán 13: a. Mang lại a,b,c, k là các số nguyên ưng ý (a+b+c) M k. Hãy chứng tỏ rằng : A = a3 + b3 +c3 - 3abc M k.b. Cho a,b,c,k là các số nguyên thoả nguyện : a2 +b2 +c2 -ab - bc - ac M k. Hãy chứng tỏ rằng A = a3 + b3 +c3 - 3abc M k.Cách giải:Ta có: A = (a+b+c) (a2 +b2+c2 -ab - bc - ac) .a. Vì chưng a+b+c M k . Suy ra A M k (đ.p.c.m)b. Vì a2 +b2 +c2 -ab - bc - ac M k. Suy ra A M k (đ.p.c.m)Bài toán 14: cho a+b+c = 2005. Hãy tính cực hiếm của biểu thức B = biện pháp giải: B = = = nhận xét 4 : giả dụ ta viết A = a3 + b3 + c3 - 3abc = (a3 - abc) + (b3 - abc) + (c3 - abc) Thì ta bao gồm vài thừa nhận xét như sau:+ A = a (a2 - bc)+ b (b2 - ac) + c (c2 - ab)+ A = a2 + A = a3 Từ dấn xét 4 cho phép ta suy nghĩ đến một số trong những bài toán sau:Bài toán 15:Cho x = a2 -bc; y = b2 - ac; z = c2 - ab. Hãy chứng minh rằng:a. (ax +by +cz) M (a+b+c)b. (ax +by +cz) M (x+y+z)Cách giải:a. Ta tất cả : (ax +by +cz) = a (a2 - bc) + b (b2 - ac) + c(c2 - ab) = a3 + b3 +c3 - 3abc = (a+b+c) (a2 +b2+c2 -ab - bc -ac) M (a+b+c)(đ.p.c.m)b. Ta có: x+y+z = (a2 - bc) +(b2 -ac) + (c2 - ab ) = a2 +b2 +c2 - ab- bc - ac (13)Theo câu a ta lại có:ax + by + cz = (a+b+c) (a2 +b2 +c2 -ab - bc - ac) (14)Từ (13) cùng (14) ta suy ra (đ.p.c.m) bài toán 16: mang đến x = a - Hãy minh chứng rằng (a2x + b2y +c2z) M (ax+by+cz) bí quyết giải:+) a2x + b2y +c2z = a2 (a- = a3+b3+c3 - 3abc= (a+b+c) (a2+b2+c2 - ab - bc -ac)(15).+) ax + by + cz = a (= a2+b2+c2 - ab - bc - ac (16).Từ (15) với (16) ta suy ra (đ.p.c.m).Bài toán 17:Cho: x = ;y = ;z = Hãy minh chứng rằng: a3x +b3y +c3z M a2x + b2y + c2zCách giải:+) a3x +b3y +c3z = a3 ( = a3 + b3 + c3-3abc = (a+b+c) (a2 +b2 +c2- ab -bc-ac) (17)+) a2x +b2y+c2z = a2 ( = a2 +b2+c2 - ab - bc - ac (18)Từ (17) với (18) ta suy ra (đ.p.c.m).Nhận xét 5: giả dụ ta đến A = a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 Thì ta suy ra: a3 +b3 +c3 = 3abc . Ta gồm hai dìm xét sau:+) +)Từ nhận xét 5 có thể chấp nhận được ta nghĩ về đến một số bài toán sau:Bài toán 18: đến : a+b+c = 0. Hãy tính cực hiếm của biểu thức B = biện pháp giải:Ta có: B = = = = = 3 (do a+b+c = 0)Bài toán 19: đến a+b+c = 0. Hãy tính giá trị biểu thức B = cách giải: B = = = 3(Theo bài toán 18).Bài toán 20: đến . Hãy tính giá trị của biểu thức B = cách giải: +) => => ab+bc+ac = 0(19)+) B = = = (20)Từ (19) và (20) ta suy ra B = 3. (Theo vấn đề 18).Nhận xét 6: giả dụ A= a3 + b3 +c3 - 3abc = 0 ta suy ra a+b+c =0 hoặc a=b=c.- Trường hòa hợp a+b+c = 0 ta suy ra : a= - (b+c)+)b= - (a+c)=> abc = - (a+b) (a+c) (b+c) => (a+b)(b+c) (a+c) = -abcc = - (a+b)a = - (b+c)+) từ bỏ b = - (a+c) c = - (a+b)Ta suy ra : =>=> (- Trường hòa hợp a = b = c ta tất cả => Từ dấn xét 6 chất nhận được ta nghĩ về đến một vài bài toán sau:Bài toán 21: Cho cha số không giống không a,b,c thoã mãn điều kiện. A3+b3+c3 - 3abc = 0. Hãy tính giá trị của biểu thức B = cách giải: từ a3 +b3 +c3 - 3abc => a = b = c hoặc a+b+c = 0 (Theo dấn xét 1).Do đó : +) B = (1+1) (1+1) (1+1) = 8 nếu a=b=c+) B = giả dụ a+b+c=0Bài toán 22: Cho bố số không giống không a,b,c thỏa mãn a3b3+b3c3+a3c3 = 3a2b2c2 . Hãy tính quý giá của biểu thức. B = .Cách giải: Đặt ab = x, bc = y, ac = z.+ Ta có: x3 + y3 + z3 =3xyz(21)+) =>B = = (22)Từ (21) cùng (22) ta suy ra: B = 8 hoặc B = -1(theo việc 21).Nhận xét 7: tự A = a3 +b3 +c3 - 3abc = (a+b+c) (a2+ b2 + c2 - ab - bc -ac) = (a+b+c) Ta bao gồm nhận xét như sau: A ³ 0 với mọi a+b+c > 0 dấu bởi xẩy ra lúc a=b=c.Từ nhấn xét 7 chất nhận được ta suy nghĩ đến một vài bài toán sau:Bài toán 23: mang đến a,b,c là cha số tự nhiên và thoải mái đôi một không giống nhau. Hãy minh chứng rằng A = a3 + b3 +c3 -3abc chưa hẳn là số nguyên tố.Cách giải: Ta có A = a3+b3+c3 - 3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2-ab - bc -ac) (23)Theo đề bài a,b,c là ba số tự nhiên và đôi một khác biệt nên ta suy ra:a+b+c ³ 3 a2+b2+c2 - ab -bc - ac ³ 3 ( Theo bài toán 10)(24)Từ (23) và (24) suy ra (đ.p.c.m)Bài toán 24: cho các số dương a, b,c. Hãy minh chứng rằng B = a3 +b3 +c3 - 3abc ko âm.Cách giải:Ta có : B = a3 +b3 + c3 - 3abc = (a+b+c) (a2+ b2+c2 - ab - bc- ac) = (25)The bài ra a,b,c là các số dương nên ta lại có a+b+c >0(26).Từ (25) cùng (26) ta suy ra (đ.p.c.m)Bài toán 25: đến a,b,c là cha cạnh của một tam giác. Hãy minh chứng rằng B= a3 +b3+ c3 - 3abc ³ 0.Cách giải: + a,b,c là ba cạnh của một tam giác yêu cầu ta gồm : a+b+c>0 (27)+ Theo câu hỏi 24 ta tất cả B = (28)Từ (27) cùng (28) ta suy ra (đ.p.c.m)Bài toán 26: cho a,b,c là tía cạnh của một tam giác thoã mãn điều kiện a3 +b3 +c3 - 3abc = 0. Hãy nhấn dạng tam giác đó.Cách giải:+) Theo câu hỏi 24 ta có: a3+b3+c3 - 3abc = (29)+) a,b,c là bố cạnh của một tam giác yêu cầu ta ta lại có a+b+c >0 (30)Từ (29) và(30) ta suy ra a3 +b3 +c2 - 3abc = 0 a-b = 0 a-c = 0 => a = b = c b-c = 0 Suy ra tam giác chính là tam giác đều.Bài toán 27: mang lại a,b,c là ba cạnh của một tam giác, chưa phải là tam giác cân. Hãy chứng minh rằng a3 + b3 + c3 -3abc >0.Cách giải:+ Theo việc 24 ta có a3 +b3+c3 -3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2 - ab - bc -ac) (31)+ Theo giải thiết ta lại có: a+b+c>0 (32) và a ạb ạc(33)Từ (31), (32) cùng (33) ta suy ra (đ.p.c.m)Nhận xét 8: giả dụ ta contact hằng đẳng thức :a3 +b3 +c3 - 3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2 - ab-bc - ac) với hệ thức lượng thì ta tất cả nhận xét như sau:Nếu a làm một góc nhọn thì Cosa, Sina, Tga, Cotga là đa số số dương.Từ dấn xét 8 có thể chấp nhận được ta nghĩ về đến một vài bài toán sau:Bài toán 28: mang đến tam giác ABC có cha góc hầu như nhọn. Hãy minh chứng rằng:a. Sin3A+ Sin3B + Sin3C - 3 SinASinBSinC ³ 0.b. Cos3A + Cos3B + Cos3C - 3 CosA CosB CosC ³ 0.c. Tg3A + Tg3B + Tg3C - 3 TgA TgBTgC ³ 0.d. Cotg3A + Cotg3B + Cotg3C - 3CotgA CotgB CotgC ³ 0.Bài toán 29: đến tam giác ABC gồm 3 góc phần lớn nhọn thoả mãn điều kiện.Tg3A + Tg3B + Tg3C - 3 TgA TgBTgC = 0. Hãy dìm dạng tam giác đó.Cách giải: việc 28 và câu hỏi 29 bao gồm cách giải giống các bài tập 25,26. Mong mỏi bạn phát âm tự giải. Dấn xét 9: trường hợp ta thay a,b,c bởi các đa thức một trở thành hoặc nhiều trở thành vào đa thức. A= a3+b3+c3 - 3abc thì ta sẽ tiến hành vô số những bài toán giống như bài toán A.Sau phía trên tôi xin đưa ra một vài việc của dạng này .Bài toán 30:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.a. (x+1)3 + (2x+3)3+ (x-4)3 - 3(x+1) (2x +3) (x-4).b. (x+y)3 + (y+z)3 + (x+z)3 - 3(x+y) (y+z) (x+z).c. (x+2y)3 - (y-z)3 + (x+z)3 + 3(x+2y)(y-z)(x+z)Bài toán 31: Giải những phương trình sau:a. (x+1)3+(2x+1)3 + (x+2)3 - 3 (x+1)(2x+1)(x+2) = 0.b. (1-x)3 + (2x-1)3 (1+3x)3 + 3(1-x) (2x - 1) (1+3x) = 0c. (x+1)3 + (x-1)3 + (2x+1)3 + 3(1-x2) (2x+1) = 0Cách giải:Các bài xích tập 30a,b,c; 31a,b ta sử dụng hằng đẳng thức a3 + b3 +c3 - 3abc để giải trực tiếp.Đối với bài 31c ta phải chuyển đổi 3(1-x2) (2x+1) = -3 (x+1) (x-1)(2x+1) tiếp đến giải tương tự như bài 31a,b.Bài toán 32: Giải phương trình nguyên dương:(x+y)3 + (y+z)3 + (x+z)3 - 3(x+y) (y+z) (x+z) = 0Cách giải: Ta biến đổi phương trình về dạng.(x+y+z) (x-y)2 = 0(y-z)2 = 0(x-z)2 = 0 (Do x+y+z >0)=> x= y = zĐS: PT có nghiệm là (x;x;x) với ngã N*C- kết luận và con kiến nghị.Những sự việc tôi trình diễn trên đây chỉ là 1 trong những vài ý kiến nhỏ được đúc rút trong quy trình giảng dạy và tu dưỡng học sinh. Sau thời điểm đã hỗ trợ những loài kiến thức cần thiết tôi thấy học viên không ngần ngaị gì cho việc vận dụng hằng đẳng thức: a3+b3+c3 - 3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ac)(*) vào giải. Không riêng gì rất nhiều em có trình độ chuyên môn từ hơi trở lên hứng thú cùng giải một biện pháp rất nhanh, rất đúng chuẩn dạng toán này, mà những học sinh trung bình cũng nắm bắt được kiến thức và kỹ năng cơ bản để vận dụng. Tuy vậy sự văn minh ấy không được thể hiện nay một cách rõ ràng nhưng tôi hi vọng rằng đây đang là những lý lẽ sắc bén, giúp học sinh rất có thể giải quyết xuất sắc những việc có tương quan đến hằng đẳng thức như tôi đã trình diễn .Một bài toán hay, một dạng toán nào đó đều rất có thể khai thác theo không ít hướng, vô số phương pháp khác nhau. Nhưng cái đích cuối cùng thì bắt buộc đưa được học sinh về chiếc gọi là kỷ năng với kỷ xảo có tác dụng toán. Vững chắc chắn nội dung bài viết của tôi còn các khiếm khuyết với hạn chế. Tôi rất ước ao nhận được sự góp ý tình thật của đồng đội đồng nghiệp và tất cả mọi tín đồ say mê toán để bản sáng kiến này hoàn thành hơn, tương đối đầy đủ hơn, đa dạng và phong phú và đa dạng mẫu mã hơn nữa.Tôi xin tình thực cảm ơn!